KARNOUGH HARİTALARI

Boolean fonksiyonlarını teoremler,kurallar ve özdeşlikler yardımı ile indirgeyebileceğimizi bir önceki bölümde gördük. Ancak yapılan bu sadeleştirme işleminde birbirini izleyen her adım için farklı bir işlem yapma gerekliliği indirgemenin tam olarak yapılamamasına ve indirgemede hata yapma olasılığını arttırma ktadır. Karnough haritalama yöntemi Boolean fonksiyonlarının indirgenmesinde basit ve dolaysız bir yöntem sağlar.

Harita karelerden oluşan bir şemadır. Her bir kare bir minterimi gösterir. Bir Boolean fonksiyonunu doğruluk tablosundan minterimlerin VEYA ’lanması (çarpımların toplamı) olarak ifade edildiği için haritada fonksiyonun minimum terimleri içerdiği karelerle çevrili bir alanlarla tanımlanabilir. Tasarımcı bu alanlarda uygun bileşkeler alarak en sade ifadeyi elde edebilir.Karnough haritalama yöntemi en fazla altı değişkenli ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılmaktadır. Daha fazla değişken içeren fonksiyonların indirgenmesi için “Tablo” yöntemi kullanılmaktadır.




5.1. İKİ , ÜÇ VE DÖRT DEĞİŞKENLİ DİYAGRAMLAR

İki giriş değişkeni için dört minterim yazılabilir, dolayısı ile harita da her minterime karşılık gelen bir kare olmak üzere dört kare vardır. Şekil 5.1 iki giriş değişkeni için oluşturulmuş Karnough haritasını göstermektedir.



Şekil 5.1 İki değişkenli Karnough haritası Kareler ve karşılık gelen değişkenler (b)’de
gösterilmiştir. Her satır ve sütündaki “1” ve “0” lar değişkenlerin alabileceği durumları göstermektedir. Her bir satır ve sütünün bileşiminden elde edilen ikilik ifade değişkenlerin bulundukları kareye ait durumunu göstermektedir.

olacaktır. Bitişik iki kare VEYA’lanırsa ifade tek terime indirgenir. İlerleyen bölümlerde bitişik kareler komşu olarak adlandırılacaktır.

Minterimlerin yazılım sırasına dikkat edilirse, bitişik her bir satır veya sütün ‘da değişkenin alabileceği değer “1” den “0” a yada “0” dan “1” geçer. Bu ise iki bitişik karenin birbiri ile komşu olmasını sağlar.

Karelerin hangi minterime karşılık geldiğini değişkenlerin satır ve sütu na ait ikilik ifadesinin onluk karşılığı yazılarak bulunabilir.


Karnough haritalarında her bir karenin Boolean ifadesi ve minimum terim cinsinden
anlamı bulunduktan sonra doğruluk tablosundan veya bir lojik ifadeden bilgilerin haritaya aktarılması gerekmektedir. Doğruluk tablosunda çıkış ifadesi tercih edilen indirgeme şekline göre “1” veya “0” olduğu durumlar Karnough haritasında uygun karelere yazılır.

5.2 KARNOUGH HARİTALARINA YERLEŞİM


Verilen bir Lojik ifadeden veya doğruluk tablosundan bilginin haritaya aktarımı için:

a) Lojik ifade veya doğruluk tablosundaki giriş değişken sayısı bulunmalıdır.

b) Karnough haritası giriş değişken sayısına uygun olacak şekilde hazırlanır.

c) Eşitlik Karnough haritasına aktarılır.


I. Lojik ifadeden Karnough haritasına bilgileri aktarırken, ifadeyi oluşturan minterimler bulunur. Minterimlere ait karelere ‘1’ diğer karelere ‘0’ yazılır.

II. Doğruluk tablosundan bilgileri Karnough haritasına aktarırken, çıkış
ifadesine ait durumlar Karnough haritasındaki uygun karelere yazılır.






5.3 KARNOUGH HARİTALARI YARDIMI İLE LOJİK İFADELERİN

SADELEŞTİRİLMESİ


Karnough haritaları yardımı ile yapılan sadeleştirme işlemi indirgenmiş ifadenin formuna göre çarpımların toplamı veya toplamların çarpımı olmak üzere i ki ayrı şekilde olabilir. Aksi belirtilmedikç yapılan indirgeler çarpımların toplamı formunda kabul edilecektir.



5.3.1 ÇARPIMLARIN TOPLAMI İLE SADELEŞTİRME


Lojik ifadeleri Karnough haritaları yardımı ile çarpımların toplamı formunda indirgerken

I. Doğruluk tablosundan alınan değerler Karnough haritasına aktarılır.

II. Karnough haritasında “1” olan kareler uygun bileşkelere alınır.

a) Bileşke oluştururken içinde “1” olan karelerin sayısı 2n kadar olmalıdır.
b) Bir kare birden fazla bileşke içinde bulunabilir.

c) Karelerin bileşke oluşturabilmeleri için birbirlerine komşu olmaları
gerekmektedir.

d) Karşılıklı köşe ve kenarlardaki kareler birbirlerine komşu kare sayılırlar.

III - Bileşke sonuçları VEYA’lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir.

a) Bileşke içinde durum değiştiren degiştiren değişkenler varsa ( 1’den 0’a veya 0’dan 1’e) bu değişkenler dikkate alınmaz.

b) Bileşke içindeki karelerinde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır. Eğer durum değiştirmeye değişkenler Lojik-0 ise değişkenlerin değili, Lojik-1 ise değişkenlerin kendisi yazılır.





5.3.2.Toplamların Çarpımı ile Sadeleştirme

Lojik ifadeleri Karnough haritaları yardımı çarpımların toplamı formunda sadeleştirme yapmak için aşağıdaki işlem sırası takip edilir:
I. Doğruluk tablosundan alınan değerler Karnough haritasına aktarılır.
II. Karnough haritasında “0” olan kareler uygun bileşkelere alınır.
III. Bileşke sonuçları VEYA’lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir.
a) Bileşke içinde durum değiştiren değişkenler varsa ( 1’den 0’a veya
0’dan 1’e) bu değişkenler dikkate alınmaz.

b) Bileşke içindeki karelerde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır.eğer durun değiştirmeyen değişkenler Lojik-0 ise değişkenin değili, Lojik-1 ise değişkenin kendisi yazılır.

VI - Elde edilen bu ifade gerçek fonksiyonun değilidir. İfadenin bir kez daha değili
alınarak gerçek fonksiyon toplamların çarpımı formuna dönüştürülür.






5.4.LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK
DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

Sayısal tasarımcılar tasarladıkları devrelerde çoğu zaman VE-Değil yada VEYA-Değil kapılarını, VE yada VEYA kapılarından daha fazla kullanırlar. Bunun nedenleri VE- Değil,VEYA-Değil kapılarının üretiminin daha kolay olması ve bütün sayısal mantık ailelerinde kullanılan temel kapılar olmasıdır.VE,VEYA ve DEĞİL kapıları ile verilen Boolean fonksiyonlarını eşdeğer VE-Değil ve VEYA-Değil mantık şemalarına dönüştürmek gerekir. Aşağıda Tablo 5.1 DeMorgan teoremleri temel dönüşümleri göstermektedir.



Şekil 5.8 Mantık kapılarının VE-Değil ve VEYA-Değil karşılıklarını göstermektedir. Bu karşılıklar tasarımlarda, kapıların VE-Değil ve VEYA-Değil eşdeğerinin çiziminde kullanılabilinir.



(alinti)